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博客 | 秦序

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[原创]一道2012年高考新课标全国卷数列题  

2016-08-09 09:36:53|  分类: 秦序 |  标签: |举报 |字号 订阅

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来自本人网站:http://www.qinxu.net/methskill/detail.asp?id=6
欢迎访问!
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2012年高考新课标全国卷理科第16题(文科第12题)如下:
数列{an}
满足an+1+(?1)nan=2n?1,则{an}的前60项之和为?(理科为填空题,文科为选择题,略选项)
先给出严格做法.
根据已知条件中的(?1)n
就可以看出这个式子与n的奇偶性有关,故可把n分成n=2k, n=2k+1(kZ+)两类,分别得到两个式子:
a2k?a2k?1=4k?3, a2k+1+a2k=4k?1.

其中,kZ+
.
Sn=j=1naj
,由于
S4=a1+a2+a3+a4=a1?a2+2(a2+a3)?a3+a4=?(2×2?3)+2(2×2?1)+2×4?3=10


S4k?S4(k?1)=a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k=a4k?3?a4k?2+2(a4k?2+a4k?1)?a4k?1+a4k=?(2×(4k?2)?3)+2(2×(4k?2)?1)+2×(4k)?3=16k?6


S4(k?1)?S4(k?2)=a4k?7+a4k?6+a4k?5+a4k?4=a4k?7?a4k?6+2(a4k?6+a4k?5)?a4k?5+a4k?4=?(2×(4k?6)?3)+2(2×(4k?6)?1)+2×(4k?4)?3=16k?22

由于(S4k?S4(k?1))?(S4(k+1)?S4(k?2))=16

即得S4, S8?S4, ?, S4k?S4(k?1)
是以S4=10首项,16为公差的等差数列,且
S4k=S4+S8?S4+?+S4k?S4(k?1)=10+26+?+16k?6=(10+16k?6)k2

故而
S60=S4×15=(10+16×15?6)×152=1830
.


注:
1. 有的方法和这个类似,但是在确定S4, S8?S4, ?, S4k?S4(k?1)(kZ+)
是等差数列的时候只是根据前三项S4,S8,S12确定,不够严格;
2. 另有一种说可以令a1=1
之类(凭什么???),再加上猜想奇数项什么都是1,偶数项又有什么规则……
3. 此外若对数列S4, S8?S4, ?, S4k?S4(k?1)(kZ+)
一开始感觉很乱,可以令b1=S4×1bk=S4k?S4(k?1)(kZ+,k2). 那么S4k=j=1kbj.

LaTeX公式复制过来显示出现问题,建议访问原版查看www.qinxu.net/methskill/detail.asp?id=6
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